Question

（2013•湖州模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-

1

6

x2+bx+c過點A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉90°得線段PB．過B作x軸的垂線、過點A作y軸的垂線，兩直線相交于點D．
（1）求b，c的值．
（2）當t為何值時，點D落在拋物線上．
（3）是否存在t，使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．
（4）如圖2，連結AC，在點P運動過程中，若以PB為直徑的圓與直線AC相切，直接寫出此時t的值．

Answer 1

分析：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-

1

6

x²+bx+c，運用待定系數法即可求出b，c的值；
（2）先由兩角對應相等的兩三角形相似證明△AOP∽△PEB，再根據相似三角形對應邊的比相等得到

AO

PE

=

AP

PB

=2，則PE=2，進而求出點D的坐標，然后將D（t+2，4）代入（1）中求出的拋物線的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8時，點B與點D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8兩種情況進行討論，在每一種情況下，當以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似時，又分兩種情況：△POA∽△ADB與△POA∽△BDA，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求解即可；
（4）設BP的中點為N，由P（t，0），B（t+2，

t

2

），根據中點坐標公式得出N（t+1，

t

4

），由勾股定理求出AP=

16+t2

．過點N作FN∥AC交y軸于點F，過點F作FH⊥AC于點H．運用待定系數法求出AC的解析式為y=-

1

2

x+4，根據解析式平移的規律設FN的解析式為y=-

1

2

x+m，將N（t+1，

t

4

）代入，得出m=

3t

4

+

1

2

．由△AFH∽△ACO，根據相似三角形對應邊的比相等得出FH=2×

4-m

5

，又當以PB為直徑的圓與直線AC相切時，FH=

1

2

BP=

1

4

AP，列出方程2×

4-m

5

=

1

4

16+t2

，解方程即可求出t的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

6

x²+bx+c過點A（0，4）和C（8，0），
∴

c=4 - 1 6 ×64+8b+c=0

，
解得

b= 5 6 c=4

．
故所求b，c的值分別為

5

6

，4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°-∠APO，
∴△AOP∽△PEB且相似比為

AO

PE

=

AP

PB

=2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴點D的坐標為（t+2，4），
∴點D落在拋物線上時，有-

1

6

（t+2）²+

5

6

（t+2）+4=4，
解得t=3或t=-2，
∵t＞0，
∴t=3．
故當t為3時，點D落在拋物線上；

（3）存在t，能夠使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似，理由如下：
①當0＜t＜8時，如圖1．
若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（4-

1

2

t），
整理，得t²+16=0，
∴t無解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2±2

5

（負值舍去）；
②當t＞8時，如圖3．
若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（

1

2

t-4），
解得t=8±4

5

（負值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t無解；
綜上可知，當t=-2+2

5

或8+4

5

時，以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似；

（4）如圖2．∵A（0，4），C（8，0），
∴AC的解析式為y=-

1

2

x+4．
設BP的中點為N，由P（t，0），B（t+2，

t

2

），可得N（t+1，

t

4

），AP=

16+t2

．
過點N作FN∥AC交y軸于點F，過點F作FH⊥AC于點H，
設直線FN的解析式為y=-

1

2

x+m，將N（t+1，

t

4

）代入，
可得-

1

2

（t+1）+m=

t

4

，即m=

3t

4

+

1

2

．
由△AFH∽△ACO，可得

AF

AC

=

FH

CO

，
∵AF=4-m，
∴

4-m

4 5

=

FH

8

，
∴FH=2×

4-m

5

，
當以PB為直徑的圓與直線AC相切時，FH=

1

2

BP=

1

4

AP，
∴2×

4-m

5

=

1

4

16+t2

，
將m=

3t

4

+

1

2

代入，整理得：31t²-336t+704=0，
解得：t=8，t=

88

31

．
故以PB為直徑的圓與直線AC相切時，t的值為8或

88

31

．

點評：本題考查了運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，切線的性質等知識，綜合性較強，難度較大．由相似三角形的判定與性質求出點D的坐標是解決（2）小題的關鍵；進行分類討論是解決（3）小題的關鍵；根據切線及旋轉的性質得出FH=

1

2

BP=

1

4

AP解決（4）小題的關鍵．