Question

（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）、（3）小題滿分各5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM＝EN，．
（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；
（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP＝x，BN＝y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長．

Answer 1

(本題滿分14分，第(1)小題滿分4分，第(2)、(3)小題滿分各5分)
[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26。
(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ÐEAP=ÐBAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，
∴，即，∴EP=x，
又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴MP=x=PN，
BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32)。
(3) j當E在線段AC上時，由(2)知，，即，ÞEM=x=EN，
又AM=AP-MP=x-x=x，
由題設△AME ~ △ENB，∴，Þ=，解得x=22=AP。
k當E在線段BC上時，由題設△AME ~ △ENB，∴ÐAEM=ÐEBN。
由外角定理，ÐAEC=ÐEAB+ÐEBN=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP，
∴Rt△ACE ~ Rt△EPM，Þ，即，ÞCE=…j。
設AP=z，∴PB=50-z，
由Rt△BEP ~ Rt△BAC，Þ，即=，ÞBE=(50-z)，∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。
由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。

略