Question

如圖所示，AD∥BC，∠ABC=90゜，∠DEC=90゜，且E為AB的中點．下列說法正確的是（　　） 
①△EDC≌△BEC；②AD+BC=CD；③AB²=4AD•BC；④分別以AD、AB、BC、CD為直徑向外作半圓，其面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，則S₁+S₄=S₃+S₂．

A．①②③④

B．②③

C．②④

D．②

Answer 1

分析：①由∠DEC=90゜，可知DC＞EC，由此判斷△EDC≌△BEC錯誤；
②作梯形ABCD的中位線EF，則EF為△CED斜邊中線，根據梯形中位線的性質和直角三角形的性質，可判斷AD+BC=CD正確；
③根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△AED∽△BCE，由相似三角形對應邊成比例即可判斷AB²=4AD•BC正確；
④根據勾股定理及圓的面積公式即可判斷S₁+S₄=S₃+S₂錯誤．

解答：解：①∵∠DEC=90゜，
∴DC＞EC，即DC≠EC，
∴△EDC≌△BEC錯誤；
②如圖，取CD中點F，連接EF，
又∵E為AB的中點，
∴EF為梯形ABCD的中位線，
∴AD+BC=2EF，
∵EF為△CED斜邊的中線，
∴CD=2EF，
∴AD+BC=CD正確；
③∵AD∥BC，∠ABC=90゜，
∴∠DAE=180°-∠ABC=90°．
∵∠DEC=90゜，
∴∠ADE=∠BEC=90°-∠AED．
在△AED與△BCE中，

∠DAE=∠EBC=90° ∠ADE=∠BEC

，
∴△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∵AE=BE=

1

2

AB，
∴

1

4

AB²=AD•BC，
∴AB²=4AD•BC正確；
④∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴AD²+AE²=DE²，BE²+BC²=CE²，
∵∠DEC=90゜，
∴DE²+CE²=CD²，
∴AD²+AE²+BE²+BC²=CD²，
∵AE²=BE²=

1

4

AB²，
∴AD²+

1

2

AB²+BC²=CD²，
∴

1

8

πAD²+

1

2

×

1

8

πAB²+

1

8

πBC²=

1

8

πCD²，
∴S₁+

1

2

S₂+S₃=S₄，
∴S₁+S₄=S₃+S₂錯誤．
故選B．

點評：本題考查了直角三角形、梯形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，圓的面積等知識，綜合性較強，有一定難度．準確作出輔助線，利用數形結合思想是解題的關鍵．