Question

如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F．
求證：（1）△ADF∽△EDB；
（2）CD²=DE•DF．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得∠B+∠A=90°，∠A+∠F=90°，則∠B=∠F，從而得出△ADF∽△EDB；
（2）由（1）得∠B=∠F，再CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，得出CD=DB，根據等邊對等角得∠DCE=∠F，則可證明△CDE∽△FDC，從而得出

CD

DF

=

DE

DC

，化為乘積式即可CD²=DF•DE．

解答：證明：（1）在Rt△ABC中，
∠B+∠A=90°
∵DF⊥AB
∴∠BDE=∠ADF=90°
∴∠A+∠F=90°，
∴∠B=∠F，
∴△ADF∽△EDB；

（2）由（1）可知△ADF∽△EDB
∴∠B=∠F，
∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線
∴CD=AD=DB，
∴∠DCE=∠B，
∴∠DCE=∠F，
∴△CDE∽△FDC，
∴

CD

DF

=

DE

DC

，
∴CD²=DF•DE．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．