Question

求使m²+m+8是完全平方數的所有整數m的積是多少？

Answer 1

分析：將m²+m+8表示為n²的形式，然后轉化可得出（2m+2n+1）（2n-2m-1）=31，從而討論可得出m的值，從而得到所有整數m的積．

解答：解：設 m²+m+8=n²（ n 是整數），
∴（m+

1

2

）²+

31

4

=n²，
（2m+1）²+31=4 n²，
∴（2 n+2 m+1）（2 n-2 m-1）=31，
因為n≥0（因為n²為完全平方數），且m與n都為整數，
所以①2m+2n+1=31，2n-2m-1=1，解得：m=7，n=8；
②2m+2n+1=1，2n-2m-1=31，解得：m=-8，n=8；
所以所有m的積為：7×（-8）=-56．
∴符合條件的 m 的值的積為-56．

點評：此題考查了完全平方數的知識，難度較大，關鍵是將m²+m+8表示為n²的形式，得到（2m+2n+1）（2n-2m-1）=31，同時也要掌握討論法的運用．