Question

如圖①，P是△ABC邊AC上的動點，以P為頂點作矩形PDEF，頂點D,E在邊BC上，頂點F在邊AB上；△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a , h,且是關于x的一元二次方程的兩個實數根，設過D, E,F三點的⊙O的面積為,矩形PDEF的面積為

（1）求證：以a+h為邊長的正方形面積與以a、h為邊長的矩形面積之比不小于4；

（2）求的最小值；

（3）當的值最小時，過點A作BC的平行線交直線BP與Q，這時線段AQ的長與m , n , k的取值是否有關？請說明理由。（11分）

 

Answer 1

 

（1）略

（2）

（3）線段AQ的長與m，n，k的取值有關

解析:解：解法一：

（1）據題意，∵a+h=.

∴所求正方形與矩形的面積之比：

  1分

由知同號,

   2分

（說明:此處未得出只扣1分,不再影響下面評分）

3分

即正方形與矩形的面積之比不小于4.

（2）∵∠FED=90º,∴DF為⊙O的直徑.

∴⊙O的面積為：．  4分

矩形PDEF的面積：．

∴面積之比： 設

,   

，即時（EF=DE）, 的最小值為  7分

（3）當的值最小時，這時矩形PDEF的四邊相等為正方形．

過B點過BM⊥AQ，M為垂足，BM交直線PF于N點，設FP＝ e，

∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.

由BC∥MQ,得：BM =AG =h.

∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,

∴△FBP∽△ABQ.     8分  （說明：此處有多種相似關系可用，要同等分步驟評分）

∴,……9分

∴.∴……10分

……11分

∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關.    （解題過程敘述基本清楚即可）

解法二：

（1）∵a，h為線段長，即a，h都大于0，

　∴ah＞０…………1分（說明:此處未得出只扣1分,再不影響下面評分）

  ∵（a-h）２≥０，當a＝h時等號成立.

　　　　   故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０．   2分

　　　　∴（a＋h）２≥４a h，

　　　　∴≥４．（﹡）    3分

　　　　　　這就證得≥４．（敘述基本明晰即可）

（2）設矩形PDEF的邊PD=x，DE=y，則⊙O的直徑為 .

         S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy

=  

= 6分

由（1）（*），           .

.

∴的最小值是  7分

（3）當的值最小時，

這時矩形PDEF的四邊相等為正方形. ∴EF=PF．作AG⊥BC，G為垂足.

∵△AGB∽△FEB，∴.……8分

∵△AQB∽△FPB, ，……9分

∴=．

而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10分

∴AG=h＝,

或者AG=h＝ 11分

∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關. （解題過程敘述基本清楚即可）