Question

20．如圖，⊙O中，弦AB=3，半徑BO=$\sqrt{3}$，C是AB上一點且AC=1，點P是⊙O上一動點，連PC，則PC長的最小值是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 過點O作OD⊥AB于點D，連接OP、OC，利用垂徑定理和勾股定理可求出OC、OD的長度，然后利用三角形三邊關系即可求出PC的最小值．

解答 解：過點O作OD⊥AB于點D，連接OP、OC，
∵AB=3，
∴由垂徑定理可知：BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∵BO=$\sqrt{3}$，
∴由勾股定理可知：OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AC=1，
∴CD=AD-AC=$\frac{1}{2}$，
∴由勾股定理可知：OC=1，
在△OCP中，由三角形三邊關系可知：
PC＞OP-OC，
∴當O、C、P三點共線時，PC可取得最小值，
此時PC=OP-OC=$\sqrt{3}$-1
故答案為：$\sqrt{3}$-1

點評 本題考查垂徑定理，解題的關鍵是根據垂徑定理和勾股定理求出OC的長度，本題屬于中等題型．