Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點和點，與軸交于另一點．

（1）求拋物線表達式；

（2）在第二象限的拋物線上有一點，且點到線段的距離為，求點的坐標；

（3）矩形的邊在軸的正半軸，在第一象限，，，將矩形沿軸負方向平移，直線、分別交拋物線于、．問：是否存在實數，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點坐標為（-1,4）或（-2,3）；（3）t= ；

【解析】

（1）待定系數法即可求得拋物線方程；

（2）作PD⊥x軸交直線于點D，交AC于點E，連接PA，PC，設P（t，-t-2t+3），由三角形面積公式可得S△PAC=S△PEA+S△PEC=+==t-t==,所以t-t=3，解得方程即為P點橫坐標，即可求得；

（3）假設存在t，如下圖，根據函數坐標列出DG，FH的值，令DG=FH，解得t即可.

（1）在中，令，則；

令，則；

∴，

∵拋物線經過、兩點，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為，

（2）如圖，

作PD⊥x軸交直線于點D，交AC于點E，連接PA，PC，

設P（t，-t-2t+3），

則D點坐標為（t，0），E（t，t+3），

∴PE=PD-DE=-t-2t+3-t-3=-t-3t，

∴S△PAC=S△PEA+S△PEC=+

==

=(-t-3t)×3=t-t，

又∵S△PAC===3,

∴t-t=3，解得t=-1或t=-2，

∴P點坐標為（-1,4）或（-2,3）；

（3）假設存在實數，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，如圖所示，B點平移到M點位置，

∴M點坐標為（1-t，0），D（1-t，2），G（1-t，-t+4t），

∴DG=-t-4t+2，

同理，F（4-t，0），H（4-t，-t+10t-21），

∴HF=-t+10t-21，

∵四邊形DGFH是平行四邊形，DG∥FH，

∴DG=FH，

∴-t-4t+2=-t+10t-21，解得t=，

∴存在實數= ，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形.