【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與
軸交于點
,與
軸交于點
,拋物線
經過點
和點
,與
軸交于另一點
.
(1)求拋物線表達式;
(2)在第二象限的拋物線上有一點,且點
到線段
的距離為
,求點
的坐標;
(3)矩形的邊
在
軸的正半軸,
在第一象限,
,
,將矩形
沿
軸負方向平移
,直線
、
分別交拋物線于
、
.問:是否存在實數
,使得以點
、
、
、
為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出
的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)P點坐標為(-1,4)或(-2,3);(3)t=
;
【解析】
(1)待定系數法即可求得拋物線方程;
(2)作PD⊥x軸交直線于點D,交AC于點E,連接PA,PC,設P(t,-t-2t+3),由三角形面積公式可得S△PAC=S△PEA+S△PEC=
+
=
=
t-
t=
=
,所以
t-
t=3,解得方程即為P點橫坐標,即可求得;
(3)假設存在t,如下圖,根據函數坐標列出DG,FH的值,令DG=FH,解得t即可.
(1)在中,令
,則
;
令,則
;
∴,
∵拋物線經過
、
兩點,
∴,
∴,
∴拋物線的解析式為,
(2)如圖,
作PD⊥x軸交直線于點D,交AC于點E,連接PA,PC,
設P(t,-t-2t+3),
則D點坐標為(t,0),E(t,t+3),
∴PE=PD-DE=-t-2t+3-t-3=-t-3t,
∴S△PAC=S△PEA+S△PEC=+
==
=(-t-3t)×3=
t-
t,
又∵S△PAC==
=3,
∴t-
t=3,解得t=-1或t=-2,
∴P點坐標為(-1,4)或(-2,3);
(3)假設存在實數,使得以點
、
、
、
為頂點的四邊形是平行四邊形,如圖所示,B點平移到M點位置,
∴M點坐標為(1-t,0),D(1-t,2),G(1-t,-t+4t),
∴DG=-t-4t+2,
同理,F(4-t,0),H(4-t,-t+10t-21),
∴HF=-t+10t-21,
∵四邊形DGFH是平行四邊形,DG∥FH,
∴DG=FH,
∴-t-4t+2=-t+10t-21,解得t=,
∴存在實數=
,使得以點
、
、
、
為頂點的四邊形是平行四邊形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖(1),在中,
,
,點
分別是
的中點,過點
作直線
的垂線段
垂足為
.點
是直線
上一動點,作
使
,
連接
.
(1)觀察猜想:如圖(2),當點與點
重合時,則
的值為 .
(2)問題探究:如圖(1),當點與點
不重合時,請求出
的值及兩直線
夾角銳角的度數,并說明理由
(3)問題解決:如圖(3),當點在同一直線上時,請直接寫出
的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知:正方形中,
,
繞點
順時針旋轉,它的兩邊分別交
(或它們的延長線)于點
.
當繞點
旋轉到
時(如圖1),易證
.
(1)當繞點
旋轉到
時(如圖2),線段
和
之間有怎樣的數量關系?寫出猜想,并加以證明.
(2)當繞點
旋轉到如圖3的位置時,線段
和
之間又有怎樣的數量關系?請直接寫出你的猜想.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知關于x的一元二次方程kx2﹣2(k+1)x+k﹣1=0有兩個不相等的實數根x1,x2.
(1)求k的取值范圍;
(2)是否存在實數k,使=1成立?若存在,請求出k的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數的圖象與反比例函數
的圖象相交于第一、三象限內的
,
兩點,與
軸交于點
.
(1)求該反比例函數和一次函數的解析式;
(2)在軸上找一點
使
最大,求
的最大值及點
的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產技能情況,進行了抽樣調查,請將下列過程補充完整:
收集數據:
從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工,進行了生產技能測試,測試成績(百分制)如下:
整理、描述數據:
按如下分數段整理、描述這兩組樣本數據:
成績 人數 部門 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說明:成績80分及以上為生產技能優(yōu)秀,70—79分為生產技能良好,60—69分為生產技能合格,60分以下為生產技能不合格)
分析數據:
兩組樣本數據的平均數、中位數、眾數如下表所示:
部門 | 平均數 | 中位數 | 眾數 |
甲 | 78.3 | 77.5 | |
乙 | 78 | 81 |
得出結論:
.估計乙部門生產技能優(yōu)秀的員工人數約為 .
.可以推斷出 部門員工的生產技能水平高.理由為 .
(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】一個不透明的布袋中僅有2個紅球、1個黑球,這些球除顏色外無其他差別.
(1)甲同學先隨機摸出一個小球,記下顏色后放回攪勻,再隨機摸出一個小球,則兩次摸出的小球顏色不同的概率是多少?
(2)乙同學從中一次摸出兩個球,則摸出的小球均為紅色的概率是___ _.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了解某班學生每天使用零花錢的情況,小明隨機調查了15名同學,結果如表:
每天使用零花錢(單位:元) | 0 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人數 | 1 | 4 | 5 | 3 | 2 |
關于這15名同學每天使用零花錢的情況,下列說法正確的是( )
A.中位數是3元B.眾數是5元
C.平均數是2.5元D.方差是4
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△A′B′C是兩個完全重合的直角三角板,∠B=30°,斜邊長為10cm.三角板A′B′C繞直角頂點C順時針旋轉,當點A′落在AB邊上時,CA′旋轉所構成的扇形的弧長為 cm.
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