Question

（2013•朝陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△AOB的直角邊OA在x軸正半軸上，OB在y軸負半軸上，且OA=

3

，OB=1，以點B為頂點的拋物線經過點A．
（1）求出該拋物線的解析式．
（2）第二象限內的點M，是經過原點且平分Rt△AOB面積的直線上一點．若OM=2，請判斷點M是否在（1）中的拋物線上？并說明理由．
（3）點P是經過點B且與坐標軸不平行的直線l上一點．請你探究：當直線l繞點B任意旋轉（不與坐標軸平行或重合）時，是否存在這樣的直線l，在直線l上能找到點P，使△PAB與Rt△AOB相似（相似比不為1）？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得到A與B的坐標，根據B為拋物線的頂點，設出拋物線的解析式，將A坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）點M不在拋物線上，理由為：設拋物線與x軸的另一個交點為C，直線OM交AB于點D，由題意得到D為AB的中點，得到AD=OD=BD，得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，作MN垂直于OC，求出MN與ON的長，確定出M坐標，代入拋物線解析式檢驗即可得到結果；
（3）存在，在Rt△AOB中，AO=

3

，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，分三種情況考慮：①當∠ABP=90°時，若∠AP₁B=60°，則△ABP₁∽△AOB，由相似得比例，確定出P₁的坐標，再由B坐標確定出直線l解析式即可；②當∠ABP=60°時，若∠BAP₅=90°，則△ABP₅∽△OBA，由相似得比例求出P₅坐標，同理確定出直線l解析式；③當∠ABP=30°且直線l在AB上方時，若∠P₆AB=90°，則△ABP₆∽△OAB，由相似得比例求出P₆坐標，同理確定出直線l解析式，綜上，得到直線l上能找到點P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似時的所有解析式．

解答：解：（1）依題意得：A（

3

，0），B（0，-1），
∵B為拋物線的頂點，
∴設拋物線解析式為y=ax²-1，
將A坐標代入得：3a-1=0，即a=

1

3

，
則拋物線解析式為y=

1

3

x²-1；

（2）點M不在拋物線y=

1

3

x²-1上，理由為：
設拋物線與x軸的另一個交點為C，直線OM交AB于點D，作MN⊥OC于點N，
由題意得：D為AB的中點，即OD=AD=BD，
∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，
在Rt△OMN中，OM=2，
∴MN=1，ON=

3

，即M（-

3

，1），
∵y=

1

3

×（-

3

）²-1=0≠1，
∴點M不在拋物線y=

1

3

x²-1上；

（3）存在，在Rt△AOB中，AO=

3

，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，
分三種情況考慮：
①當∠ABP=90°時，若∠AP₁B=60°，則△ABP₁∽△AOB，
∴

BP1

BO

=

AB

AO

，即BP₁=

1×2

3

=

2 3

3

，
∴OP₁=

3

3

，即P₁（-

3

3

，0），[這里也利用求出P₂（-

3

，2）或P₃（

3

3

，-2）或P₄（

3

，-4）]，
設直線l解析式為y=kx+b，將B與P₁坐標代入得：

b=-1 - 3 3 k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=-1

，
此時直線l解析式為y=-

3

x-1；
②當∠ABP=60°時，若∠BAP₅=90°，則△ABP₅∽△OBA，
∴

BP5

AB

=

AB

BO

，即BP₅=

2×2

1

=4，
過P₅作P₅C⊥y軸于點G，在Rt△BGP₅中，∠P₅BG=60°，
∴P₅G=2

3

，BG=2，即P₅（2

3

，-3），
同理求出直線l解析式為y=-

3

3

x-1；
③當∠ABP=30°且直線l在AB上方時，若∠P₆AB=90°，則△ABP₆∽△OAB，
∴

BP6

AB

=

AB

OA

，即BP₆=

2×2

3

=

4 3

3

，
過P₆作P₆H⊥y軸于點H，在Rt△BP₆H中，∠P₆BH=30°，
∴P₆H=

2 3

3

，BH=2，
∴P₆（

2 3

3

，1），
同理得到直線l解析式為y=

3

x-1，
綜上，存在三條直線l：y=-

3

x-1，y=-

3

3

x-1和y=

3

x-1，在上述直線l上能找到點P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似．

點評：此題考查了二次函數的性質，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法求拋物線解析式，相似三角形的判定與性質，利用了分類討論及數形結合的思想，是一道綜合性較強的試題．