Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD中，以A為圓心，1為半徑作，將一塊直角三角板的直角頂點P放置在（不包括端點B、D）上滑動，一條直角邊通過頂點A，另一條直角邊與邊BC相交于點Q，連接PC，并設PQ=x，以下我們對△CPQ進行研究．
（1）△CPQ能否為等邊三角形？若能，則求出x的值；若不能，則說明理由；
（2）求△CPQ周長的最小值；
（3）當△CPQ分別為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形時分別求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先假設△CPQ為等邊三角形，然后可得x=BQ=PQ=CQ=，然后連接AQ，由∠BAQ的正切，可得x=，得出矛盾，即可證得△CPQ不能為等邊三角形；
（2）首先由△CPQ的周長=PQ+QC+CP，可得△CPQ周長為1+PC，然后由PC≥AC-PA，求得PC的最小值，即可求得△CPQ周長的最小值；
（3）首先連接AC，交于P，則可得PQ=BQ=x，∠PCQ=45°，∠CPQ=90°；繼而可得PQ=BQ=x=-1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°，然后從△CPQ分別為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形時去分析，即可求得答案．
解答：解：（1）假設△CPQ為等邊三角形時，
一方面x=BQ=PQ=CQ=，（1分）
另一方面，連接AQ，
∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
∴∠AQP=60°，
∵∠PQC=60°，
∴∠AQB=60°，
∴∠BAQ=30°，
∴tan∠BAQ=tan30°=，
∴x=，（2分）
∴得出自相矛盾；
∴△CPQ不能為等邊三角形．（3分）

（2）△CPQ的周長=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；（4分）
又∵PC≥AC-PA=-1，
∴△CPQ的周長≥1+-1=，
即當點P運動至點P時，△CPQ的周長最小值是．（6分）

（3）連接AC，交于P，則PQ=BQ=x，∠PCQ=45°，∠CPQ=90°；
∴PQ=BQ=x=-1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°．（7分）
①當P在上運動時，
∵∠APQ=90°，
∴0°＜∠CPQ＜90°，
此時△CPQ是銳角三角形，-1＜x＜1．（8分）
②當P與P重合時，∠CPQ=90°，此時△CPQ是直角三角形，x=-1．（9分）
③當P在上運動時，
∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
∴90°＜∠CPQ＜180°，
此時△CPQ是鈍角三角形，0＜x＜-1．（10分）
點評：此題考查了切線的性質，三角形周長的求解方法，反證法的應用，三角函數等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合與分類討論思想思想的應用，注意輔助線的作法．