Question

24、如圖1，等邊△ABC中，點D、E、F分別為AB、BC、CA上的點，且AD=BE=CF．
（1）△DEF是

等邊

三角形；
（2）如圖2，M為線段BC上一點，連接FM，在FM的右側作等邊△FMN，連接DM、EN．求證：DM=EN；
（3）如圖3，將上題中“M為線段BC上一點”改為“點M為CB延長線上一點”，其余條件不變，求證：DM=EN．

Answer 1

分析：（1）等邊△ABC中，AD=BE=CF．可得除△DEF之外的三個三角形全等，所以△DEF的三條邊相等．
（2）證明DM=EN，證明△DFM≌△EFN即可．兩個三角形分別有兩邊對應相等，只需求其夾角相等即可，即求∠DFM=∠EFN．
（3）即證明△MDF≌△NEF．同（2），只需求∠MFD=∠EFN即可．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又AD=BE=CF
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF，
∴△DFE為等邊三角形．
（2）由（1）得，DE=EF=DF，
又MF=MN=FM，∠DFM=∠EFM+60°，∠EFN=∠EFM+60°，
∴∠DFM=∠EFN，
∴△DFM≌△EFN
∴DM=NE．
（3）同理，DE=EF=DF，MF=MN=FM，
又∠MFD+∠MFE=60°，∠MFE+∠EFN=60°，
∴∠MFD=∠EFN，
∴△MDF≌△NEF，
∴DM=EN．

點評：熟練掌握等邊三角形的性質及判定定理，能夠快速證明兩個三角形的全等．