Question

已知：如圖，在等邊△ABC中取點P，使得PA，PB，PC的長分別為3，4，5，將線段AP以點A為旋轉中心順時針旋轉60°得到線段AD，連接BD，下列結論：
①△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉60°得到；②點P與點D的距離為3；③∠APB=150°；
④S_△APC+S_△APB=6+

9

2

3

，其中正確的結論有（　　）

A．①②④

B．①③④

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：由線段AP以點A為旋轉中心順時針旋轉60°得到線段AD，根據旋轉的性質有AD=AP，∠DAP=60°，再根據等邊三角形的性質得∠BAC=60°，AB=AC，易得∠DAP=∠PAC，于是△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉60°得到；△ADP為等邊三角形，則有PD=PA=3；在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD為直角三角形，且∠BPD=90°，則∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°；由△ADB≌△APC得S_△ADB=S_△APC，則有S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD，根據等邊三角形的面積為邊長平方的

3

4

倍和直角三角形的面積公式即可得到S_△ADP+S_△BPD=

3

4

×3²+

1

2

×3×4=6+

9

4

3

，可判斷④不正確．

解答：解：連PD，如圖，
∵線段AP以點A為旋轉中心順時針旋轉60°得到線段AD，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，
∴∠DAP=∠PAC，
∴△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉60°得到，所以①正確；
∵DA=PA，∠DAP=60°，
∴△ADP為等邊三角形，
∴PD=PA=3，所以②正確；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，
∵3²+4²=5²，即PD²+PB²=BD²，
∴△PBD為直角三角形，且∠BPD=90°，
由②得∠APD=60°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正確；
∵△ADB≌△APC，
∴S_△ADB=S_△APC，
∴S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD=

3

4

×3²+

1

2

×3×4=6+

9

4

3

，所以④不正確．
故選C．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角線段，對應線段線段；對應點的連線段所夾的角等于旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理．