Question

已知a是方程x²-5x+1=0的一個根，那么a⁴+a^-4的末位數字是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9

Answer 1

【答案】分析：本題根據一元二次方程的根與系數的關系求解，方程x²-5x+1=0兩根之積為1，已知x=a是方程的一個根，則方程的另一個根為a^-1．則a⁴+a^-4=23²-2，故可求得代數式的末位數字．
解答：解：根據韋達定理可得：方程x²-5x+1=0的兩根之積為1，兩根之和為5，
∵a是方程x²-5x+1=0的一個根，
∴另一個根為a^-1，
∴a+a^-1=5，
∴a⁴+a^-4=（a²+a^-2）²-2=[（a+a^-1）²-2]²-2，
∵23²末位數字是9，
∴a⁴+a^-4末位數字為7．
故本題選C．
點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．要求熟練運用此公式解題．解題關鍵是能用完全平方公式把a⁴+a^-4表示為[（a+a^-1）²-2]²-2的形式．