Question

（1）如圖1,在等邊△ABC中,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯結AM,以AM為邊作等邊△AMN,聯結CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】

（2）如圖2,在等邊△ABC中,點M是邊BC延長線上的任意一點（不含端點C）,其它條件不變,（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】

（3）如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯結AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC．聯結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系,并說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）先證△BAM≌△CAN，再由全等三角形性質得到結論；

（2）先證△BAM≌△CAN，再由全等三角形性質得到結論；

（3）先證△ABC∽△AMN,再證△BAM∽△CAN,由相似三角形性質得到結論。

試題解析：（1）∵△ABC、△AMN是等邊三角形,

∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,

∴∠BAM=∠CAN,

∴△BAM≌△CAN（SAS）,

∴∠ABC=∠ACN；

（2）結論∠ABC=∠ACN仍成立．

理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形,

∴AB=AC,AM=AN,

∠BAC=∠MAN=60°,

∴∠BAM=∠CAN,

∴△BAM≌△CAN（SAS）,

∴∠ABC=∠ACN；

（3）∠ABC=∠ACN．

理由如下：

∵BA=BC,MA=MN,頂角∠ABC=∠AMN,

∴底角∠BAC=∠MAN,

∴△ABC∽△AMN,

∴ ,

又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,

∴∠BAM=∠CAN,

∴△BAM∽△CAN,

∴∠ABC=∠ACN．

考點：三角形的全等與相似.