Question

（2001•常州）在直角坐標系xOy中：
（1）畫出一次函數y=x+的圖象，記作直線a，a與x軸的交點為C；
（2）畫出△ABC，使BC在x軸上，點A在直線a上（點A在第一象限），且BC=2，∠ABC=120°；
（3）寫出點A、B、C的坐標；
（4）將△ABC繞點B在直角坐標平面內旋轉，使點A落在x軸上，求此時過點A、B、C的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令x=0，y=0找出直線與兩坐標軸的交點即可畫出一次函數y=x+的圖象．
（2）在x軸上找點C，使BC=2，根據∠ABC=120°可知，C在B的右側，且B點坐標為（1，0），在直線y=x+的圖象上取點A，使∠ABC=120°即可．
（3）過A作AD⊥x軸，根據銳角三角函數的定義即可求出P點的坐標．
（4）根據旋轉的性質當A落到x軸上時，設此點為A′則AA′=AC，此時AC旋轉的角度為∠ACD=60°，同理，B也旋轉了60°，BC=B′C，過B′作B′E⊥x軸，根據銳角三角函數值的定義可知B′此時正好落在y軸上，根據兩點間的距離公式可求出B′、A′的坐標，再用待定系數法即可求出過點A、B、C的拋物線的解析式．
解答：解：（1）令x=0，則y=，令y=0，則x=-1，則函數圖象與兩坐標軸的交點分別為（0，），（-1，0）

（2）因為C在x軸上，且∠ABC=120°，
所以B點坐標為（1，0），在直線y=x+的圖象上取點A，使∠ABC=120°即可．

（3）設A（x，y），則y=x+，過A作AD⊥x軸，
則CD=x-1，∠ACD=180°-∠ABC=180°-120°=60°，
所以AD=CD•tan60°=（x-1），
即（x-1）=x+，
解得x=3，y=×3+=2．
由（2）（3）可知A、B、C三點的坐標分別為：A（3，2），B（-1，0），C（-1，0）．

（4）設三角形旋轉以后的圖形為△A′B′C，
根據旋轉的性質可知A′C=AC，B′C=BC，
此時AC旋轉的角度為∠ACD=60°，
同理，B也旋轉了60°，即∠ACA′=∠BCB′=60°，A′C=AC==4，
故A點坐標為（5，0），同理可得B′C=BC==2，
過B′作B′E⊥x軸，根據銳角三角函數的定義可知
EC=1，
故E與原點重合．
此時B′點坐標為（0，）
設此時過點A、B、C的拋物線的解析式為：
y=ax²+bx+c，
把A′，B′，C三點坐標分別代入得，，
解得：，
故此函數的解析式為y=x²-x+．
點評：此題比較復雜，涉及到一次函數圖象上點的坐標特點，旋轉的性質，二次函數圖象上點的坐標特征及銳角三角函數值的定義．