Question

（2006•宜昌）如圖，⊙O的直徑BC=4，過點C作⊙O的切線m，D是直線m上一點，且DC=2，A是線段BO上一動點，連接AD交⊙O于G，過點A作AD的垂線交直線m于點F，交⊙O于點H，連接GH交BC于E．
（1）當點A是BO的中點時，求AF的長；
（2）若∠AGH=∠AFD，求△AGH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）當點A是BO的中點時，根據△ACD∽△FCA，可將AF的長求出；
（2）當GH為⊙O的直徑時，根據△AGH∽△AFD，可將△AFD的面積求出；當GH不是直徑時，可知△AGH為等腰直角三角形，從而可將△AFD的面積求出．
解答：解：（1）∵BC=4，A是OB的中點
∴AC=3
又∵DC為⊙O的切線
∴∠ACD=∠ACF=90°
∵AD⊥AF
∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余
∴∠ADC=∠CAF
∴△ACD∽△FCA
∴CD：AC=AC：FC
即2：3=3：FC
∴FC=
∴AF===；

（2）∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG，
∴△AGH∽△AFD，
∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF，
∴AE=GE=HE，
①如圖1，如果GH是直徑（即A與B重合，E與O重合），那么GH=4；
在直角△AFD中，FC=8，FD=10，
∵△AGH∽△AFD，
∴△AGH與△AFD相似比為GH：FD=4：10，
∴這兩個相似三角形的面積比為16：100，
而△AFD的面積為20，
∴△AGH的面積=20×16÷100=3.2；
②如圖2，如果GH不是直徑，由GE=HE，
根據垂徑定理的推論可得GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，
∴AG=AH，且GH∥FD，
而∠GAH=90°，則∠AGH=45°．
∴∠D=∠AGH=45°，
∴在直角三角形△ACD中，∠DAC=45°．
∴AC=CD=2
而OC=2，
∴A、O點重合，故AG=AH=2
∴△AGH的面積=2．
點評：本題考查綜合應用圓，相似三角形等知識的推理論證能力．