Question

（2006•宜昌）如圖，點O是坐標原點，點A（n，0）是x軸上一動點（n＜0）．以AO為一邊作矩形AOBC，點C在第二象限，且OB=2OA．矩形AOBC繞點A逆時針旋轉90°得矩形AGDE．過點A的直線y=kx+m交y軸于點F，FB=FA．拋物線y=ax²+bx+c過點E、F、G且和直線AF交于點H，過點H作HM⊥x軸，垂足為點M．
（1）求k的值；
（2）點A位置改變時，△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表達式，也就求出了FB的長，由于F的坐標為（0，m）據此可求出m，n的關系式，可用n替換掉一次函數中m的值，然后將A點的坐標代入即可求出k的值．
（2）思路同（1）一樣，先用n表示出E、F、G的坐標，然后代入拋物線的解析式中，得出a，b，c與n的函數關系式，然后用n表示出二次函數的解析式，進而可用n表示出H點的坐標，然后求出△AMH的面積和矩形AOBC的面積進行比較即可．
解答：解：（1）根據題意得到：E（3n，0），G（n，-n）
當x=0時，y=kx+m=m，
∴點F坐標為（0，m）
∵Rt△AOF中，AF²=m²+n²，
∵FB=AF，
∴m²+n²=（-2n-m）²，
化簡得：m=-0.75n，
對于y=kx+m，當x=n時，y=0，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c過點E、F、G，
∴，
解得：a=，b=-，c=-0.75n，
∴拋物線為y=x²-x-0.75n，
解方程組：，
得：x₁=5n，y₁=3n；x₂=0，y₂=-0.75n，
∴H坐標是：（5n，3n），HM=-3n，AM=n-5n=-4n，
∴△AMH的面積=0.5×HM×AM=6n²；
而矩形AOBC的面積=2n²，
∴△AMH的面積：矩形AOBC的面積=3，不隨著點A的位置的改變而改變．
點評：命題立意：考查綜合應用一次函數、二次函數的圖象性質解決問題的能力．