分析：首先證明最簡單的情況，即n=3時，利用配方法根據任何數的平方一定是非負數即可證明，然后把證明的方法推廣到一般的情況即可．
解答：證明：欲證①成立，先考慮最簡單的情形，設n=3，即證
+
+
≥a
1+a
2+a
3…②
把②變形為
（
-a1）
2+（
-a2）
2+（
-a3）
2≥0…③
即證
(a1-a2)+
(a2-a3)+
(a3-a1)≥0…④
由于④中左邊有（a
1-a
2），（a
2-a
3），（a
3-a
1），其和為零，因此，我們猜想：若④式左邊相加，其和不小于（a
1-a
2），（a
2-a
3），（a
3-a
1）之和即可．為此，我們證更簡單的事實．
設a，b是任意正整數，則有
(a-b)≥(a-b)…⑤
事實上，由（a-b）
2≥0有
a
2-ab≥ab-b
2，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以
≥（a-b）
根據⑤，④顯然成立，因為
(a1-a2)+
(a2-a3)+
(a3-a1)≥（a
1-a
2）+（a
2-a
3）+（a
3-a
1）≥0，
從而③式成立，②式成立．
剩下來的工作是把②式推到一般情形①，這是很容易的．因為根據⑤，①式必然成立，因為
(a1-a2)+(a2-a3)+…+
(an-1-a2)+
(an-a1)≥（a
1-a
2）+（a
2-a
3）+…+（a
n-1-a
n）+（a
n-a
1）=0
點評：本題主要考查了不等式的證明，把所證的式子轉化為與所證的式子的等價情況是解題的關鍵．
應用題作業本系列答案