Question

17、設a₁，a₂，…a_n，是n個任意給定的．求證：一定可以找到緊連在一起的若干個數，使得它們的和能被n整除．

Answer 1

分析：首先構造n個抽屜，被n除后余數可以為0、1、2、3、…（n-1），余數為0的符合題意，如果余數都不為0，則其中有兩個余數相同，進一步作差問題得證．

解答：證明：根據題意構造抽屜{a₁}，{a₁+a₂}，{a₁+a₂++a_n}；
若其中某個被n整除，則問題得解；
否則它們被n除得的余數是1，2，，n-1共n-1個抽屜，
而{a₁}，{a₁+a₂}，，{a₁+a₂++a_n}共n個數放入n-1個抽屜，
所以必有2個數在同一抽屜，則設其為a₁+a₂+…+a_i與a₁+a₂+…+a_j，
∴（a₁+a₂++a_i）-（a₁+a₂++a_j）=a_j+1++a_i能被n整除，
∴即可找到緊連在一起的若干個數，其和被n整除．

點評：此題關鍵是構造出抽屜，利用有余數的除法進行探討數的整除性問題．