Question

若f（n）為n²+1（n為正整數）的各位數字之和，如：6²+1=37，則f（6）=3+7=10．記f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），f_k+1（n）=f（f_k（n）），k為正整數，則f₂₀₁₁（8）=________．

Answer 1

11
分析：通過觀察前幾個函數值的規律得，f_n（8）構成一個周期為3的周期性的數列，再利用數列的周期性即可解決問題．
解答：8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₁（8）=f（8）=11；
11²=121，121+1=122，1+2+2=5，∴f₂（8）=5；
5²=25，25+1=26，2+6=8，∴f₃（8）=8；
8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₄（8）=11，
∴f_n（8）構成一個周期為3的周期性的數列，
∴f₂₀₁₁（8）=f_3×670+1（8）=f₁（8）=11．
故答案為11．
點評：本題主要考查了歸納推理、函數的周期性，以及數列遞推式，屬于基礎題．所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結論的推理．