Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E．

(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：△ADC≌△CEB；

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，試問DE、AD、BE的等量關系?并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE=AD-BE，理由見解析

【解析】

（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據AAS即可得到答案；
（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．

解：（1）證明：如圖1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）結論：DE=AD-BE．
理由：如圖2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．