Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，點在軸上，以為直徑作，點在軸上，且在點上方，過點作的切線，為切點，如果點在第一象限，則稱為點的離點．例如，圖1中的為點的一個離點．

（1）已知點，為的離點．

①如圖2，若，則圓心的坐標為__________，線段的長為__________；

②若，求線段的長；

（2）已知，直線．

①當時，若直線上存在的離點，則點縱坐標的最大值為__________；

②記直線在的部分為圖形，如果圖形上存在的離點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)①（0，1）；；詳情見解析；②，詳情見解析；（2）①6，詳情見解析；②當k＜0時，1-2<k≤或當k＞0時，≤k<1+2；詳情見解析；

【解析】

（1）①如圖可知：C(0，1)，在RtPQC中，CQ=1，PC=2，可得線段的長；

②如圖，過C作CM⊥y軸于點M，連接CP，CQ，M(0，1)，在RtACM中，由勾股定理可得CA=，CQ=，在RtPCM中，由勾股定理可得PC=，在RtPCQ中，由勾股定理可得PQ=；

（2）①當k=1時，y=x+4，Q（t-4，t），P的縱坐標為4時，PQ與圓C相切，設B（m，0），則圓心為，由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式為，Q點橫坐標為，則C（2t-5，1），再由CQ=AC，得到t=6或t=2；

②y=kx+k+3經過定點（-1，3)，PQ是圓的切線，AO是圓的弦，則有，當k<0時，Q點的在端點（-1，3）和（1，2k+3）之間運動，當P（0，4）時，PQ=2，.以P為圓心，PQ長為半徑的圓與y軸交于點（0，4-2），此時k=1-2，當P（0，3）時，PQ=，Q（1，2k+3），，所以1-2<k≤；當k>0時，當P（0，4)時，PQ=2，以P為圓心，PQ長為半徑的圓與y軸交于點（0，4+2），此時k=1+2，當P(0，3)時，PQ=，Q（1，2k+3），，≤k<1+2；

解：

（1）①如圖可知：C（0，1），

在RtPQC中，CQ=1，PC=2，

∴；

故答案為：（0，1）；；

②如圖，過C作CM⊥y軸于點M，連接CP，CQ，

∵A（0，2），B（2，0），

∴C（1，1），

∴M（0，1），

在RtACM中，由勾股定理可得CA=，

∴CQ=，

∵P（0，3），M（0，1），

∴PM=2，

在RtPCM中，由勾股定理可得PC=，

在RtPCQ中，由勾股定理可得PQ=；

（2）①當k=1時，y=x+4，

∴Q（t-4，t），

∵，

∴P的縱坐標為4時，PQ與圓C相切，

設B（m，0），

∴C，

∵CQ⊥PQ，

∴CQ的解析式為，

∴Q點橫坐標為，

∴，

∴m=4t-10，

∴C（2t-5，1），

∵CQ=AC，

∴，

∴t=6或t=2；

∴t的最大值為6；

故答案為：6.

②∵-1≤x≤1，

∵y=kx+k+3經過定點（-1，3)，

∵PQ是圓的切線，AO是圓的弦，

∴，

當k<0時，Q點的在端點（-1，3）和（1，2k+3）之間運動，

當P（0，4）時，PQ=2，

.以P為圓心，PQ長為半徑的圓與y軸交于點（0，4-2），

此時k=1-2，

當P（0，3）時，PQ=，Q（1，2k+3），

∴，

∴，

∴，

即1-2<k≤；

當k>0時，當P（0，4)時，PQ=2，

以P為圓心，PQ長為半徑的圓與y軸交于點（0，4+2），

此時k=1+2，

當P(0，3)時，PQ=，

Q（1，2k+3），

，

∴，

∴，

即≤k<1+2；