Question

4．已知等邊△ABC的邊長為4cm，點P，Q分別從B，C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；
點Q沿CA，AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s），
（1）如圖（1），當x為何值時，PQ∥AB；
（2）如圖（2），若PQ⊥AC，求x；
（3）如圖（3），當點Q在AB上運動時，PQ與△ABC的高AD交于點O，OQ與OP是否總是相等？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出△PQC為等邊三角形，進而表示出PC=4-x，CQ=2x，由4-x=2x，求出答案；
（2）根據(jù)題意得出CQ=$\frac{1}{2}$PC，即2x=$\frac{1}{2}$（4-x），求出即可；
（3）根據(jù)題意得出QH=DP，進而判斷出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠C=60°，
∴當PC=CQ時，△PQC為等邊三角形，
于是∠QPC=60°=∠B，
從而PQ∥AB，
∵PC=4-x，CQ=2x，
由4-x=2x，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴當x=$\frac{4}{3}$時，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，
∴∠QPC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$PC，
即2x=$\frac{1}{2}$（4-x），
解得：x=$\frac{4}{5}$；

（3）OQ=PO，理由如下：
作QH⊥AD于H，如圖（3），
∵AD⊥BC，
∴∠QAH=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴QH=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$（2x-4）=x-2，
∵DP=BP-BD=x-2，
∴QH=DP，
在△OQH和△OPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QOH=∠POD}\\{∠QHO=∠PDO}\\{QH=PD}\end{array}\right.$，
∴△OQH≌△OPD（AAS），
∴OQ=OP．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．