Question

【題目】如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點，OC平分∠AOB交AB于點C，點D為線段AB上一點，過點D作DE∥OC交y軸于點E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n滿足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）若點D為AB中點，求OE的長；

（3）如圖2，若點P（x，﹣2x+4）為直線AB在x軸下方的一點，點E是y軸的正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角△PEF，使點F在第一象限，且F點的橫、縱坐標始終相等，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A為（2，0），點B為（0，4）；（2）OE＝1；（3）點P為（4，﹣4）

【解析】

（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，得出方程（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，求得m＝2，n＝4，即可得到A、B兩點的坐標；

（2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG＝DF，連接BG，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)BG=BE=AF列出關(guān)于x的方程，即可求得OE的長；

（3）分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N，設(shè)點E為（0，m），構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)F點的橫坐標與縱坐標相等，得出方程m+2x﹣4＝m+x，解得：x=4，即可得到點P為（4，-4）．

解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，

∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，

∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，

∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，

∴m＝2，n＝4，

∴點A為（2，0），點B為（0，4）；

（2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG＝DF，連接BG，

設(shè)OE＝x，

∵OC平分∠AOB，

∴∠BOC＝∠AOC＝45°，

∵DE∥OC，

∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，

∴OE＝OF＝x，

在△ADF和△BDG中 ，

∴△ADF≌△BDG（SAS），

∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，

∴∠G＝∠BEG＝45°

∴BG＝BE＝4﹣x

∴4﹣x＝2+x，

解得：x＝1，∴OE＝1；

（3）分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N，

設(shè)點E為（0，m），

∵點P的坐標為（x，﹣2x+4），

∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，

∵∠PEF＝90°，

∴∠PEN+∠FEM＝90°，

∵FM⊥y軸，

∴∠MFE+∠FEM＝90°，

∴∠PEN＝∠MFE，

在△EFM和△PEN中， ，

∴△EFM≌△PEN（AAS），

∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，

∴點F為（m+2x4，m+x），

∵F點的橫坐標與縱坐標相等，

∴m+2x﹣4＝m+x，

解得：x＝4，

∴點P為（4，﹣4）．