Question

（2013年四川南充8分）如圖，公路AB為東西走向，在點A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊N（參考數據：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）.

（1）求M，N兩村之間的距離；
（2）要在公路AB旁修建一個土特產收購站P，使得M，N兩村到P站的距離之和最短，求這個最短距離。

Answer 1

解：（1）如圖，過點M作CD∥AB，NE⊥AB。

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5，
∴。∴CM＝3，AC＝4。
在Rt△ANE中， ∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10，
∴。∴NE＝6，AE＝8。
在Rt△MND中，MD＝5，ND＝2，
∴(km) 。
（2）作點N關于AB的對稱點G，連接MG交AB于點P，點P即為站點。
∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG。
在Rt△MDG中， (km) ，
∴最短距離為 km 。

（1）過點M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長度，
（2）作點N關于AB的對稱點G，連接MG交AB于點P，點P即為站點，求出MG的長度即可。