Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交CD于點G.

(1)若，則______.

(2)若，求的值.(用含有m的代數式表示，寫出解答過程)

(3)如圖2，四邊形ABCD中，DC//AB，點E是BC的延長線上的一點，AE是BD相交于點F，若，，則____.(直接用含a，b的代數式表示)

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3) .

【解析】

(1)如圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H．由△ABF∽△EHF，推出==3，推出AB=3EH，由四邊形ABCD是平行四邊形，EH∥AB，推出EH∥CD，AB=CD又E為BC中點，推出EH為△BCG的中位線，推出CG=2EH，即可推出===；

(2)如圖2中，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB，推出==a，推出AB=aEH，由AB=CD，推出CD=aEH，由EH∥AB∥CD，推出△BEH∽△BCG．推出，推出CG=2EH，推出DG=CD-CG=(a-2)EH，由此即可解決問題；

(3)如圖3中，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．由EH∥CD，推出△BCD∽△BEH，推出==，推出CD=EH，又=a，推出AB=aCD=EH，由EH∥AB，推出△ABF∽△EHF，即可推出==．

解：(1)如圖1中，

過點E作EH∥AB交BG于點H．

則有△ABF∽△EHF，

∴==3，

∴AB=3EH．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，EH∥AB，

∴EH∥CD，AB=CD，

又∵E為BC中點，

∴EH為△BCG的中位線，

∴CG=2EH，

∴===.

故答案為；

(2)解：如圖所示，

作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．

∴，

∴AB＝mEH．

∵AB＝CD，

∴CD＝mEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴，

∴CG＝2EH．

∴．

(3)如圖3所示，

過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，

∴△BCD∽△BEH，

∴==，

∴CD=EH．

又=a ，

∴AB=aCD=EH．

∵EH∥AB，

∴△ABF∽△EHF，

∴==.

故答案為．