Question

如圖1、圖2、圖3，在矩形ABCD中，E是BC邊上的一點，以AE為邊作平行四邊形AEFG，使點D在AE的對邊FG上，
（1）如圖1，試說明：平行四邊形AEFG的面積與矩形ABCD的面積相等；
（2）如圖2，若平行四邊形AEFG是矩形，EF與CD交于點P，試說明：A、E、P、D四點在同一個圓上；
（3）如圖3，若AB＜BC，平行四邊形AEFG是正方形，且D是FG的中點，EF交CD于點P，連接PA，判斷以FG為直徑的圓與直線PA的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）作出AE邊上的高，分別得出長方形和平行四邊形的面積表達式，可得其結果相同，從而說明平行四邊形AEFG的面積與矩形ABCD的面積相等．
（2）先求出∠ADC=∠FEA=90°，再根據圓內接四邊形的判定定理：“如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形內接于圓”解答．
（3）過D作DH⊥AP于H，根據∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，可得∠3=∠1，可求出△ADG∽△AEB；再根據D是FG的中點可求出其相似比為2，再由△ADG與△AEB相似可得其對應邊成比例，可求出△ADG∽△AEB∽△APD；最后根據相似三角形的性質可得AD是∠GAH的平分線，可求出DG=DH，故DG=DF，即可解答．

解答：解：（1）過D點作DP垂直AE于點P；
S_ABCD=AB×AD，
S_AEFG=AE×DP=

AB

cos∠BAE

×（AD×cos∠ADP），
∠BAE=∠ADP，
所以S_AEFG=AB×AD，
所以，S_AEFG=S_ABCD．

（2）因為平行四邊形AEFG是矩形，四邊形ABCD也是矩形；
所以∠ADC=∠FEA=90°，
則∠ADC+∠FEA=180°，
所以A、E、P、D四點在同一個圓上．

（3）相切．
過D作DH⊥AP于H；
∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1，∠2=∠4，
∴△ADG∽△AEB，
∵D是FG的中點，
∴

AG

DF

=

GD

PF

=

AD

DP

=2，
在△ADG與△APD中，

AG

DF

=

GD

PF

=

AD

DP

=2；
∵DF=GD，
∴

AG

GD

=

AD

DP

=2，
∵∠ADP=∠AGD=90°，
∴△ADG∽△AEB∽△APD，∴∠1=∠DAP，即AD是∠GAH的平分線，
∴DG=DH=DF，∵DP=DP，∠DHP=∠DFP=90°，
∴以FG為直徑的圓與直線PA相切．

點評：（1）此題將四邊形面積的求法和三角函數相結合，有一定難度．作出AE邊上的高是解題的關鍵．
（2）此題考查了圓內接四邊形的判定定理，只要判斷出一組對角互補即可．
（3）本題考查的是相似三角形的判定定理、角平分形的判定定理及性質，解答此題的關鍵是作出輔助線，難度較大．