Question

如圖（1），在Rt△ABC的邊AB的同側，分別以三邊為直徑作三個半圓，大半圓以外的兩部分面積分別為S₁、S₃，三角形的面積為S₂；
如圖（2），兩個反比例函數y=

2

x

和y=

1

x

在第一象限內的圖象如圖所示，點P在y=

2

x

的圖象上，PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，交y=

1

x

的圖象于分別于點A，B，當點P在y=

2

x

的圖象上運動時，△BOD，四邊形OAPB，△AOC的面積分別為S₁、S₂、S₃；
如圖（3），點E為?ABCD邊AD上任意一點，三個三角形的面積分別為S₁、S₂、S₃；
如圖（4），梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB+∠ABC=90°，AB=2CD，以AD、DC、CB為邊作三個正方形的面積分別為S₁、S₂、S₃．
在這四個圖形中滿足S₁+S₃=S₂有

 

（填序號）．

Answer 1

分析：圖（1）根據AB²=AC²+BC²，半圓的面積等于

1

2

πr²，可得出S₁、S₂、S₃的關系．
圖（2）過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值|k|，△BOD的面積為矩形面積的一半，即

1

2

|k|，從而可判斷出S₁、S₂、S₃的關系．
圖（3）根據平行四邊形的性質可得S₂=

1

2

S_ABCD，從而可得出S₁+S₃=S₂．
圖（4）過點D作EE∥BC交AB于點E，得到平行四邊形DCBE和Rt△ADE，根據平行四邊形的性質和勾股定理，不難證明三個正方形的邊長對應等于所得直角三角形的邊．

解答：解：（1）如圖：可得S₁+S₃=

1

2

π(

AC

2

)2+

1

2

π(

BC

2

)2+S₂-

1

2

π(

AB

2

)2=

1

2

π（AC²+BC²-AB²）+S₂，
又∵AB²=AC²+BC²，
∴S₁+S₃=S₂．

（2）根據k的幾何意義可得：S_BDO=

1

2

|k|=

1

2

，S_AOC=

1

2

|k|=

1

2

，S_OAPB=2-S_BDO-S_AOC=1，
∴S₁+S₃=S₂．

（3）根據平行四邊形的性質可得S₂=

1

2

S_ABCD，
∴S₁+S₂=

1

2

S_ABCD，
∴S₁+S₃=S₂．

（4）∵AB∥DC，
∴四邊形DCBE是平行四邊形，
∴DC=BE，BC=DE，∠ABC=∠AED，
∵∠DAB+∠ABC=90°，2DC=AB，
∴DC=AE，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠ADE=90°那么AD²+DE²=AE²，
∵S₁=AD²，S₂=DC²=AE²，S₃=BC²=AE²，
∴S₂=S₁+S₃．
綜上可得（1）（2）（3）（4）四個圖形均滿足S₂=S₁+S₃．
故答案為（1）（2）（3）（4）．

點評：本題考查了勾股定理、反比例函數的幾何意義及平行四邊形的性質，涉及的知識點較多，難度較大，解答本題關鍵是根據反比例函數的幾何意義，平心四邊形的性質，梯形的知識分別表示出各圖中的S₁、S₂、S₃．