Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+與x軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0），點C是頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，線段DE是射線AC上的一條動線段（點D在點E的下方），且DE＝2，點D從點A出發沿著射線AC的方向以每秒2個單位長度的速度運動，以DE為一邊在AC上方作等腰Rt△DEF，其中∠EDF＝90°，設運動時間為t秒．

①點D的坐標是　 　（用含t的代數式表示）；

②當直線BC與△DEF有交點時，請求出t的取值范圍；

（3）如圖2，點P是△ABC內一動點，BP＝，點M，N分別是AB，BC邊上的兩個動點，當△PMN的周長最小時，請直接寫出四邊形PNBM面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）①（t﹣1， t）；②1≤t≤﹣；（3）．

【解析】

（1）直接利用待定系數法，建立方程組求解即可得出結論；

（2）先判斷出△ABC是等邊三角形，

①利用三角函數表示出AQ，DQ，即可得出結論；

②先表示出點E，F的坐標，再求出直線BC的解析式，點E，F代入直線BC的解析式中，即可求出分界點，即可得出結論；

（3）先判斷出△BEF是要為BP，頂角為120°的等腰三角形，進而求出△BEF的面積，再判斷出四邊形PNBM的面積最大，得出△BMN的面積最小，此時，BP⊥EF，即可得出結論．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+與x軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+；

（2）如圖1，

由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，

∴點C（1，2），

∵A（﹣1，0），

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，AC＝＝4，BC＝＝4，

∴AB＝AC＝BC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

①過點D作DQ⊥AB于Q，

由運動知，AD＝2t，

∴AQ＝t，

∴DQ＝t，

∴D（t﹣1， t），

故答案為：（t﹣1， t）；

②過點F作AB的垂線，交過點D平行于AB的直線于G，

∴∠FDG＝60°，

∵∠ADF＝90°，

∴∠FDG＝30°，

∴FG＝DF＝DE＝1，DG＝，

∴F（t﹣1﹣1， t+1），E（t﹣1+1， t+），

即F（t﹣2， t+1），E（t， t+），

∵點B（3，0），C（1，2），

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

當點E在直線BC上時，﹣t+3＝t+，

∴t＝1，

當點F在直線BC上時，﹣（t﹣2）+3＝t+1，

∴t＝﹣，

即當直線BC與△DEF有交點時，t的取值范圍為1≤t≤﹣；

（3）如圖2，

作點P關于AB的對稱點F，作點P關于BC的對稱點E，連接EF，交AB于M，交BC于N，連接PM，PN，

則△PMN的周長最小為PM+PN+MN＝FM+EN+MN＝EF，

由對稱性知，BE＝BF＝BP＝，∠EBN＝∠PBN，∠FBM＝∠PBM，

∴∠EBN＝∠EBN+∠PBN+∠FBM+∠PBM＝2（∠PBN+∠PBM）＝2∠ABC＝120°，

∴∠BFE＝30°，

過點B作BH⊥EF于H，則EF＝2FH，

在Rt△BHM中，BH＝BF＝，FH＝，

∴EF＝2FH＝，

∴S△BEF＝EFBH＝，

∵S四邊形PNBM＝（S△BEF+S△PMN）＝（+S△PMN），

要使四邊形PNBM的面積最大，則△PMN的面積最大，即△BMN的的面積最小，

只有BP⊥EF時，△BMN的面積最小，此時，MN＝2×＝，PH＝BP﹣BH＝﹣＝，

∴S△PMN最大＝MNPH＝，

即S四邊形PNBM最大＝（S△BEF+S△PMN）＝（+）＝，

∴當△PMN的周長最小時，四邊形PNBM面積的最大值為．