Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線與y軸交于點C（0,2），它的頂點為D（1,m），且.

（1）求m的值及拋物線的表達式；

（2）將此拋物線向上平移后與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，且OA=OB.若點A是由原拋物線上的點E平移所得，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，點P是拋物線對稱軸上的一點（位于x軸上方），且∠APB=45°.求P點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）E（3,-1）（3）

【解析】

（1）作DH⊥y軸,根據，求出m的值，再根據對稱軸是x＝1，和C,D兩點求出拋物線的表達式即可；

（2）設平移后的拋物線表達式為，然后得出OA＝OB,得出B（0,2＋k），A點的坐標為（2＋k,0），然后代入求出k的值即可；

（3）設P（1,y），設對稱軸與AB的交點為M，與x軸的交點為H，則H（1,0），由（2）得出A,B的坐標，然后得出△BMP∽△BPA，然后根據

解：（1）作DH⊥y軸，垂足為H，∵D（1,m）（），∴DH＝ m，HO＝1.

∵，∴，∴m＝3.

∴拋物線的頂點為D（1,3）.

又∵拋物線與y軸交于點C（0,2），

∴（2∴∴拋物線的表達式為.

（2）∵將此拋物線向上平移，

∴設平移后的拋物線表達式為.

則它與y軸交點B（0,2＋k）.

∵平移后的拋物線與x軸正半軸交于點A，且OA＝OB，∴A點的坐標為（2＋k,0）.

∴.∴.

∵，∴.

∴A（3,0），拋物線向上平移了1個單位.

∵點A由點E向上平移了1個單位所得，∴E（3,－1）.

（3）由（2）得A（3,0），B（0, 3），∴.

∵點P是拋物線對稱軸上的一點（位于x軸上方），且∠APB＝45°,原頂點D（1,3）,

∴設P（1,y），設對稱軸與AB的交點為M，與x軸的交點為H，則H（1,0）.

∵A（3,0），B（0, 3），∴∠OAB＝45°, ∴∠AMH＝45°.

∴M（1,2）. ∴.

∵∠BMP＝∠AMH, ∴∠BMP＝45°.

∵∠APB＝45°, ∴∠BMP＝∠APB.

∵∠B＝∠B，∴△BMP∽△BPA.

∴.∴

∴.∴（舍）.

∴