Question

如圖所示，在x軸的正半軸上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄…=A_2n-1A_2n=1，過A₁、A₃、A₅…A_2n-1分別作x軸的垂線與反比例函數y=

2

x

的圖象交于點B₁、B₃、B₅…B_2n-1，與反比例函數y=

4

x

的圖象交于點C₁、C₃、C₅、…C_2n-1，并設△OB₁C₁與△B₁C₁A₂合并成的四邊形的面積為S₁，△A₂B₂C₃與△B₂C₃A₄合并成的四邊形的面積為S₂…，以此類推，△A_2n-2B_nC_n與△B_nC_nA_2n合并成的四邊形的面積為S_n，則S₁=

2

；

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

=

n2

2

．（n為正整數）．

Answer 1

分析：首先根據已知得出OA₁•B₁A₁=2，OA₁•C₁A₁=4，進而求出S₁=

1

2

×2OA₁•C₁A₁-

1

2

×2OA₁•B₁A₁=2，即可得出S₂=

2

3

，S₃=

2

5

，S_n=

2

2n-1

，求出答案即可．

解答：解：∵在x軸的正半軸上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄…=A_2n-1A_2n=1，過A₁、A₃、A₅…A_2n-1分別作x軸的垂線與反比例函數y=

2

x

的圖象交于點B₁、B₃、B₅…B_2n-1，與反比例函數y=

4

x

的圖象交于點C₁、C₃、C₅、…C_2n-1，
∴OA₁•B₁A₁=2，OA₁•C₁A₁=4，
∴△OB₁C₁與△B₁C₁A₂合并成的四邊形的面積為S₁=

1

2

×2OA₁•C₁A₁-

1

2

×2OA₁•B₁A₁=2，
同理可得出：OA₃•C₃A₃=4，OA₃•B₃A₃=2，
∴C₃A₃=

4

3

，B₃A₃=

2

3

，
∴△A₂B₂C₃與△B₂C₃A₄合并成的四邊形的面積為S₂=

1

2

×2A₂A₃•C₃A₃-

1

2

×2A₂A₃•B₃A₃=

2

3

，
可得出：S₃=

2

5

，
∴S_n=

2

2n-1

，
∴

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

=

1

2

+

3

2

+

5

2

+…+

2n-1

2

=

1+3+5+…+(2n-1)

2

=

n2

2

（n為正整數）．
故答案為：2，

n2

2

．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及三角形面積求法，根據已知得出面積S的變化規(guī)律進而得出是解題關鍵．