Question

（2012•黑龍江）如圖所示，在x軸的正半軸上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅…，過A₁、A₂、A₃、A₄、A₅…分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象交于點P₁、P₂、P₃、P₄、P₅…，并設△OA₁P₁、△A₁A₂P₂、△A₂A₃P₃…面積分別為S₁、S₂、S₃…，按此作法進行下去，則S_n的值為

2

n

（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析：根據(jù)反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義再結(jié)合圖象即可解答．

解答：解：因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，S=

1

2

|k|=2．
又因為OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅
所以S₁=2，S₂=

1

2

S₁=1，S₃=

1

3

S₁=

2

3

，S₄=

1

4

S₁=

2

4

，S₅=

1

5

S₁=

2

5

．
依此類推：S_n的值為

2

n

．
故答案是：

2

n

．

點評：主要考查了反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)常考查的一個知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=

1

2

|k|．