Question

19．一個自然數m，若將其數字重新排列可得一個新的自然數n，如果m=3n，我們稱m是一個“希望數”．例如：3105=3×1035，71253=3×23751，371250=3×123750．
（1）請說明41不是希望數，并證明任意兩位數都不可能是“希望數”．
（2）一個四位“希望數”M記為$\overline{abcd}$，已知$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$，且c=2，請求出這個四位“希望數”．

Answer 1

分析 （1）根據3×14=42≠41即可得出41不是希望數，假設存在兩位數是希望數，記為$\overline{ab}$，根據$\overline{ab}$=3$\overline{ba}$，即可得出b=1、2、3，逐一分析當b=1、2、3時a的值，驗證后即可得出假設不成立，從而得出任意兩位數都不可能是“希望數”；
（2）根據$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$可分析出d=0或5，當d=0時可得出a=4，結合c=2即可得出此情況不成立；當d=5時可得出a=7，結合c=2即可得出關于b的一元一次方程，解之即可得出b值，將a、b、c、d值代入該四位數中即可得出結論．

解答 解：（1）∵3×14=42≠51，
∴41不是希望數．
假設存在兩位數是希望數，記為$\overline{ab}$，
∴$\overline{ab}$=3$\overline{ba}$．
∵3b為一位數，且b是3a的個位數，
∴b=1，2，3．
當b=1時，a=7，3×17=51≠71；
當b=2時，a=4，3×24=72≠42；
當b=3時，a=1，3×31=93≠13．
綜上可知：假設不成立，即任意兩位數都不可能是“希望數”．
（2）∵$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$，
∴3d的個位是d，
∴d=0或5．
當d=0時，∵3a的個位是c，c=2，
∴a=4，
此時3c=6＞4，不合適；
當d=5時，∵3a的個位+1是c，c=2，
∴a=7，
又∵$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$，
∴3b+2=10+b，解得：b=4．
∴這個四位“希望數”為7425．

點評 本題考查了因式分解的應用及解一元一次方程，熟讀題意弄得“希望數”的特點是解題的關鍵．