Question

（2011•太原二模）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-1，2），點B的坐標為（2，6），點C在坐標軸上，若△ABC為直角三角形，則滿足條件的點C共有（　　）

A．2個

B．4個

C．6個

D．8個

Answer 1

分析：過點A作AB的垂線，交x軸于點C₁，交y軸于點C₂；過點B作AB的垂線，交x軸于點C₃，交y軸于點C₄；根據直徑所對的圓周角為直角，以AB為直徑作圓，根據A和B的坐標求出AB的長度，即為圓的直徑，可得出半徑的長，進而判斷得出圓與x軸相離，可得出圓與y軸交于2點．所以滿足條件的點共有6個．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：
分三種情況考慮：當A為直角頂點時，過A作AC⊥AB，交x軸于點C₁，交y軸于點C₂，此時滿足題意的點為C₁，C₂；
當B為直角頂點時，過B作BC⊥⊥AB，交x軸于點C₃，交y軸于點C₄，此時滿足題意的點為C₃，C₄；
當C為直角頂點時，以AB為直徑作圓，由A（-1，2），B（2，6），得到AB=5，可得此圓與x軸相離，
則此圓與x軸沒有交點，與y軸有2個交點，分別為C₅，C₆．
綜上，所有滿足題意的C有6個．
故選C．

點評：此題考查了圓周角定理，勾股定理，以及坐標與圖形性質，利用了分類討論及數形結合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，則它的任意一個頂點都有可能為直角頂點．