Question

10．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．連結CF
（1）求證：CF∥BD
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質得到AB=BF=CD，∠BFD=∠BCD=∠A=90°，推出點B，F，C，D四點共圓，得到∠BDE=∠DFC，根據平行線的判定定理即可得到結論；
（2）解直角三角形即可得到結論．

解答 解：（1）∵將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，
∵AB=BF=CD，∠BFD=∠BCD=∠A=90°，
∴點B，F，C，D四點共圓，
∵BF=CD，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BDE=∠DFC，
∴CF∥BD；

（2）在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ECD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴（2EC）²-EC²=CD²，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了折疊的性質、全等三角形的判定和性質、等角對等邊、平行線的性質以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質是解決本題的關鍵．