Question

如圖，在∠ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，問(wèn)：
（1）能否在BA、BC邊上各找到一點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最短？若能，請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明；若不能，說(shuō)明理由．
（2）若∠ABC=40°，在（1）問(wèn)的條件下，能否求出∠MPN的度數(shù)？若能，請(qǐng)求出它的數(shù)值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明原因．

Answer 1

分析：（1）分別作點(diǎn)P關(guān)于BA和BC的對(duì)稱點(diǎn)P′和P′′，連接P′和P′′交BA和BC于M、N兩點(diǎn)即可．
（2）在四邊形BEPF中求出∠EPF的度數(shù)為140°，從而得出∠MPN+（∠MPP'+∠NPP''）=140°，∠MPN+（∠PMN+∠PNM）=∠MPN+2（∠MPP'+∠NPP''）=180°，解出即可得出答案．

解答：解：（1）能找到．
所作圖形如下：
．
（2）∵∠ABC=40°，
∴∠EPF=140°，
∵M(jìn)P=MP'，NP=NP''，
∴∠PMN=∠MP'P+∠MPP'=2∠MPP'，∠MNP=∠NPP''+∠NP''P=2∠NPP''
又∵∠MPN+（∠MPP'+∠NPP''）=140°，∠MPN+（∠PMN+∠PNM）=∠MPN+2（∠MPP'+∠NPP''）=180°，
∴（∠MPP'+∠NPP''）=40°，∠MPN=100°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱求解最短路徑的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握此類題題目解答的步驟，①找其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，②連接此對(duì)稱點(diǎn)與另外一點(diǎn)．