Question

（2013•武漢模擬）在⊙O中，AB為直徑，PC為弦，且PA=PC
（1）如圖1，求證：OP∥BC
（2）如圖2，DE切⊙O于點C，DE∥AB，求tan∠A的值．

Answer 1

分析：（1）根據弧、弦、圓圓周角的關系以及等邊對等角可以證得∠BCP=∠CPO，利用內錯角相等，兩直線平行即可證得；
（2）根據平行線的性質可以求得∠AOC的度數，然后利用圓周角定理即可求得∠PON=45度，則△OPN是等腰直角三角形，則可以利用圓的半徑表示出PN與ON的長，然后在直角△APN中，根據正切函數的定義即可求解．

解答：證明：（1）連接OC．
∵PA=PC
∴弧PA=弧PC，
∴∠AOP=∠COP，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
同理，∠PCO=∠CPO，
∴∠A=∠CPO，
∵∠A=∠BCP，
∴∠BCP=∠CPO，
∴BC∥OP；

（2）連接OP，過P作PN⊥AB于點N．
∵DE為⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO=90°，
∵AB∥DE，
∴∠AOC+∠DCO=180°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOP=∠COP=135°．
∵∠AOP+∠BOP=180°，
∴∠BOP=45°，
∵PN⊥AB，
∴ON=PN=

2

2

OP，
∵AO=PO，
∴AN=（1+

2

2

）OP，
∴tanA=

PN

AN

=

2 2 OP

(1+ 2 2 )OP

=

2

-1．

點評：本題考查了圓周角定理，三角函數的定義，正確作出輔助線，把求三角函數的問題轉化成直角三角形的邊的比是關鍵．