Question

如圖，△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC及CB的延長線于D、E，點M在CE的延長線上，且∠CAM=180°-

1

2

∠ABC
（1）求證：直線AM是⊙O的切線；
（2）若cos∠C=

2 5

5

，AB=5，求AM的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：計算題

分析：（1）由AB=BC，利用等邊對等角得到∠BAC=∠C=

1

2

（180°-∠ABC），再由∠CAM=∠BAM+∠BAC，代入計算得到∠BAM為直角，即AM垂直于AB，即可得證；
（2）連接BD，EA，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB與AEC為直角，由AB=BC，利用三線合一得到D為AC中點，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數定義求出AD的長，確定出AC的長，在直角三角形ACE中，利用銳角三角函數定義求出CE的長，利用勾股定理求出AE的長，由Rt△ABE∽Rt△MBA得比例求出BM的長，由BM-BE求出ME的長，在直角三角形AME中，利用勾股定理即可求出AM的長．

解答：解：（1）∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=

1

2

（180°-∠ABC），
∴∠CAM=∠BAM+∠BAC=∠BAM+

1

2

（180°-∠ABC）=180°-

1

2

∠ABC，
∴∠BAM=90°，即AM⊥AB，
則直線AM為圓O的切線；

（2）連接BD，AE，可得∠AEC=∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴D為AC中點，即AD=CD=

1

2

AC，∠BAC=∠C，
∴cosC=cos∠BAC=

2 5

5

，
在Rt△ABD中，AD=ABcos∠BAC=2

5

，
∴AC=2AD=4

5

，
在Rt△ACE中，CE=ACcosC=8，
∴根據勾股定理得：AE=

AC2-CE2

=4，EB=EC-BC=EC-AB=8-5=3，
∵Rt△ABE∽Rt△MBA，
∴AB²=BE•BM，即25=3BM，
∴BM=

25

3

，ME=BM-EB=

16

3

，
在Rt△AEM中，根據勾股定理得：AM=

ME2+AE2

=

( 16 3 )2+42

=

20

3

．

點評：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數定義，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．