Question

（2013•密云縣一模）觀察下列等式：
第1個等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）；
第2個等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）；
第3個等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）；
第4個等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

×（

1

7

-

1

9

）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a₅=

1

9×11

=

1

2

×（

1

9

-

1

11

）

；
（2）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值為

100

201

．

Answer 1

分析：（1）觀察知，找第一個等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為：序號的2倍減1和序號的2倍加1．
（2）運用（1）中變化規(guī)律計算得出即可．

解答：解：（1）第1個等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）；
第2個等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）；
第3個等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）；
第4個等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

×（

1

7

-

1

9

）；
…
則第5個等式：a₅=

1

9×11

=

1

2

×（

1

9

-

1

11

）；
故答案為：

1

9×11

，

1

2

×（

1

9

-

1

11

）；

（2）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

×（

1

199

-

1

201

），
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

199

-

1

201

），
=

1

2

×（1-

1

201

），
=

100

201

．
故答案為：

100

201

．

點評：此題考查了數(shù)字的規(guī)律及運用規(guī)律計算．尋找規(guī)律大致可分為2個步驟：不變的和變化的；變化的部分與序號的關(guān)系．