Question

如圖，在△ABC的外接圓O中，D是的中點，AD交BC于點E，連接BD．
（1）列出圖中所有相似三角形；
（2）連接DC，若在上任取一點K（點A，B，C除外），連接CK，DK，DK交BC于點F，DC²=DF•DK是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據相似三角形的判定可以得到相似三角形共有三對；
（2）先根據已知作圖，通過證明△KDC∽△CDF，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得到DC²=DF•DK．
解答：解：（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC．

（2）DC²=DF•DK成立．
證明：∵D是的中點，
∴=，
∴∠DBC=∠DCB（等弧的圓周角相等），
又∵∠DBC=∠DKC，
∴∠DCB=∠DKC，
又∵∠KDC=∠CDF，
∴△KDC∽△CDF，
∴，
∴DC²=DF•DK．
點評：考查了相似三角形的判定方法及三角形外接圓與外心等知識的掌握情況．