Question

如圖，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=

3

5

，動點D從點A出發，以每秒1個單位的速度沿線段AB向點B 運動，DE∥BC，交AC于點E，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG．設運動時間為t，
（1）t為何值時，正方形DEFG的邊GF在BC上；
（2）當GF運動到△ABC外時，EF、DG分別與BC交于點P、Q，是否存在時刻t，使得△CEP與△BDQ的面積之和等于△ABC面積的

1

4

？
（3）設△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為S，試求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意作輔助線，然后根據相似三角形比例關系即可得出t的值；
（2）根據題意將三角形面積用t表示出來，然后解方程即可；
（3）分兩種情況討論得出答案．

解答：解：過點A作BC邊上的高AM，垂足為M，交DE于N．
∵AB=10，sinB=

3

5

，
∴AM=ABsinB=6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

=

AN

AM

，即

t

10

=

DE

12

=

AN

6

，
∴DE=

6

5

t，AN=

3

5

t，MN=6-

3

5

t．

（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，如圖1，
DE=DG=MN，即

6

5

t=6-

3

5

t，
∴t=

10

3

，
∴當t=

10

3

時，正方形DEFG的邊GF在BC上；

（2）當GF運動到△ABC外時，如圖2，
S_△CEP+S_△BDQ=

1

2

PC•PE+

1

2

BQ•DQ=

1

2

(PC+BQ)MN
=

1

2

(BC-DE)MN=

1

2

(12-

6

5

t)(6-

3

5

t)
S_△ABC=

1

2

BC•AM=

1

2

×12×6=36
令

1

2

（12-

6

5

t）（6-

3

5

t）=

1

4

×36，
解得t₁=15（舍去），t₂=5，
∴當t=5時，△CEP與△BDQ的面積之和等于△ABC面積的

1

4

；

（3）分兩種情況：
①當正方形DEFG在△ABC的內部時，如圖3，
S=DE²=（

6

5

t）²=

36

25

t²，此時t的范圍是0≤t≤

10

3

，
當t=

10

3

時，S的最大值為16．
②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，
如圖2，S=DE•MN=

6

5

t（6-

3

5

t）=-

18

25

t²+

36

5

t，此時t的范圍是

10

3

＜t≤10，
∵-

18

25

＜0，∴當t=5時，S的最大值為18，
∵18＞16，∴S的最大值為18．

點評：本題主要考查了作輔助線、相似三角形的證明及性質、二次函數最值及正方形的性質，難度較大．