Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，分別以AB、AC為邊向形外作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°．
（1）求∠DBC的度數(shù)；
（2）求證：BD=CE；
（3）若連接BE、CD，試判斷BE、CD是否相等，并對結(jié)論給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB，進而得出∠DBC的度數(shù)；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=AD=AC=AE，進而得出△ADB≌△ACE，即可得出答案；
（3）由（2）得，AB=AD=AC=AE，∠EAC=∠DAB=90°，得出∠EAB=∠DAC，進而利用全等三角形的判定得出△DAC≌△BAE，進而得出答案．

解答：（1）解：∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-30°

2

=75°，
∵以AB、AC為邊向形外作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠DBC=75°+45°=120°；

（2）證明：∵△ADB和△ACE都是等腰直角三角形，且AB=AC，
∴AB=AD=AC=AE，
在△ADB和△ACE中，

AD=AC ∠EAC=∠DAB AB=AE

，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴BD=EC；

（3）BE=CD，
理由：由（2）得，AB=AD=AC=AE，∠EAC=∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=CD．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠ABC=∠ACB和∠EAB=∠DAC是解題關鍵．