Question

如圖，E是正方形ABCD邊CD的中點，AE與BD交于點O，則tan∠AOB=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,勾股定理,正方形的性質,銳角三角函數的定義

專題：

分析：連接AC交BD于F，設正方形的邊長為2，則DE=1，由正方形的性質可知：DE∥AB，所以△EOD∽△AOB，根據勾股定理可求出AE和BD的長，由相似三角形的性質可得AO和OE的比值，進而求出AO，根據正方形的對角線互相平分可求出AF，進而求出tan∠AOB的值．

解答：解：連接AC交BD于F，設正方形的邊長為2，
∵E是正方形ABCD邊CD的中點，
∴則DE=1，
∴AE=

22+12

=

5

，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DE∥AB，AC⊥BD于F，
∴△EOD∽△AOB，
∴DE：AB=EO：AO=1：2，
∴AO=

2 5

3

，
∵AC=

22+22

=2

2

，
∴AF=

1

2

×2

2

=

2

，
∴OF=

AO2-AF2

=

2

3

，
∴tan∠AOB=

AF

OF

=

2

2 3

=3，
故答案為：3．

點評：本題考查了正方形的性質、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質以及銳角三角函數的定義，題目的綜合性很強，難度中等．