Question

在等腰△ABC中，B、C為定點，且AC=AB，D為BC的中點，以BC為直徑作⊙D，問：（1）頂角A等于多少度時，點A在⊙D上？（2）頂角A等于多少度時，點A在⊙D內部？（3）頂角A等于多少度時，點A在⊙D外部？

Answer 1

【答案】分析：直徑所對的圓周角是直角，因而根據三角形的外角大于任何一個不等于0的內角，進而可以根據直徑所對的角與圓周角的大小判斷點與圓的位置關系．
解答：解：如圖所示，

（1）∵點A在⊙D上，且AD為中線，AB=AC；
∴AD⊥BC，BD=AD=DC，
∴∠2=∠ABD=∠1=∠ACD=45°，
∴∠BAC=90°，
即頂角A為90°時，點A在⊙D上．

（2）∵點A₁在⊙D內，
∴∠3＞∠1，∠4＞∠2，
∴∠3+∠4＞∠1+∠2，
即∠BA₁C＞∠BAC；
∴當頂角的度數大于90°且小于180°時，點A在⊙D內部．

（3）與（2）同理，當頂角A的度數大于0°且小于90°時點A在⊙D的外部．
點評：本題實際上是給出了一個判斷點與圓的位置關系，是需要熟記的內容．