Question

如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）延長BE至Q，P為BQ上一點，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時，求PQ的長．

Answer 1

（1）先根據等邊三角形的性質得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，即可得到∠ACD=∠BCE，從而可以證得結論；（2）6

試題分析：（1）先根據等邊三角形的性質得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，即可得到∠ACD=∠BCE，從而可以證得結論；
（2）過點C作CH⊥BQ于H，根據等邊三角形及角平分線的性質可得∠DAC=30°，再根據△ACD≌△BCE可得∠QBC=∠DAC=30°，根據含30°的直角三角形的性質可得CH的長，最后根據勾股定理求解即可.
（1）∵△ABC與△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）過點C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等邊三角形，AO是角平分線，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠QBC=∠DAC=30°，
∴CH=BC=×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．
點評：本題知識點多，綜合性較強，但難度不大，是中考常見題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.