Question

（2012•溧水縣一模）已知二次函數y=x²+2x+m的圖象與x軸有且只有一個公共點．
（1）求該二次函數的圖象的頂點坐標；
（2）若P（n，y₁），Q（n+2，y₂）是該二次函數的圖象上的兩點，且y₁＞y₂，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據首先可以利用頂點式表示出二次函數的頂點坐標，再利用圖象與x軸有且只有一個公共點，則頂點的縱坐標為0，故函數圖象的頂點坐標為（-1，0），
（2）將n，n+2代入二次函數解析式即可得出n的取值范圍．

解答：解：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，對稱軸為x=-1，
∵與x軸有且只有一個公共點，∴頂點的縱坐標為0．
∴函數圖象的頂點坐標為（-1，0），
或：∵與x軸有且只有一個公共點，∴2²-4m=0，
∴m=1，
∴函數y=x²+2x+1=（x+1）²，
∴函數圖象的頂點坐標是（-1，0）；

（2）∵P（n，y₁），Q（n+2，y₂）是該二次函數的圖象上的兩點，且y₁＞y₂，
n²+2n+1＞（n+2）²+2（n+2）+1，
化簡整理得，4n+8＜0，
∴n＜-2，
∴實數n的取值范圍是n＜-2．

點評：本題考查了拋物線和x軸的交點問題以及不等式解法，二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標特點，二次函數y=ax²+bx+c頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸x=-

b

2a

．