Question

已知△ABC中三邊長分別為a，b，c，相應邊上的中線長為m_a，m_b，m_c．
求證：bc-

a2

4

≤

m

2 a

≤bc+

a2

4

．

Answer 1

分析：根據勾股定理找到a、b、c與m_a²的關系，即b2+c2=2

m

2 a

+

1

2

a2，整理可得m_a²的不等式，可以證明

m

2 a

＜bc+

a2

4

，得
bc-

a2

4

＜

m

2 a

＜bc+

a2

4

．

解答：證明：利用勾股定理可以證明b2+c2=2

m

2 a

+

1

2

a2，
∴

m

2 a

=

b2+c2

2

-

a2

4

=

(b-c)2

2

+bc-

a2

4

≥bc-

a2

4

，
又

m

2 a

=

b2+c2

2

-

a2

4

，

= b2+c2-a2 2 + a2 4 = 2bc+(b-c)2-a2 2 + a2 4 =bc+ (b-c+a)(b-c-a) 2 + a2 4

，
∵b-c-a=b-（a+c）＜0，
b-c+a=（a+b）-c＞0，
∴

m

2 a

＜bc+

a2

4

，
∴bc-

a2

4

＜

m

2 a

＜bc+

a2

4

．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運用，本題中正確的運用勾股定理并且根據不等式求出

m

2 a

＜bc+

a2

4

是解題的關鍵．