Question

如圖，?ABCD中對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接AF、CE，試判斷四邊形AECF是什么特殊的四邊形？寫出結論并加以證明．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∵在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）連接AF、CE，試判斷四邊形AECF是平行四邊形，
理由如下：
證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO．
又∵∠AOE=∠COF，
∴OA=OC，
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE．
又∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
分析：（1）根據有兩角和一個角的對邊相等即可證明：△ABE≌△CDF；
（2）連接AF、CE，試判斷四邊形AECF是平行四邊形，可先證明△AOF≌△COE，可得OF=OE，又有OA=OC，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得四邊形AFCE是平行四邊形．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，其中平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．