Question

（1998•寧波）如圖，四邊形ABCD內接于以AC為直徑的⊙O，AC，BD交于點E，DB平分∠ADC，AF∥BD交CD延長線于點F，且CD，DF的長是關于x的方程x²-3x+p=0的兩根．
（1）求證：DE=p；
（2）求DB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）AC為直徑，∠ADC=∠ABC=∠ADF=90°，由DB平分∠ADC，AF∥BD得△ADF、△ABC都是等腰直角三角形，由兩根關系得：CD+DF=3，DF²-3DF+p=0，p=3DF-DF²；由平行得相似，利用相似比證明結論；
（2）求線段BD，把問題轉化為證明△ABD∽△ACF，再尋找相似的條件．
解答：（1）證明：∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°．
又∵DB平分∠ADC，AF∥BD，
∴∠DAF=∠F=45°．
∴△ADF為等腰直角三角形．
∴AF=DF，AD=DF．
∵CD，DF的長是關于x的方程x²-3x+p=0的兩根，
∴CD+DF=CF=3，DF²-3DF+p=0，p=3DF-DF²
∵AF∥BD，
∴△CDE∽△CFA．
∴=．
即=
DE=（3DF-DF²）=p．

（2）解：∵∠ABD、∠ACD都是弧AD所對的圓周角，
∴∠ABD=∠CD．
又∠ADB=∠F=45°，
∴△ABD∽△ACF．
∴=．
即=．
BD=．
點評：本題考查了圓周角定理，根與系數關系的知識，要學會通過題目的已知條件，寫出相關等式，尋找相似三角形，利用相似比解答問題．