Question

（1998•寧波）如圖，在直角坐標系中，OA=OC，AB=4，tan∠BCO=，二次函數y=ax²+bx+c圖象經過A、B、C三點．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求二次函數的解析式；
（3）求過點A、B和拋物線頂點D的圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用OB表示出OA、OC的長，進而在Rt△OBC中，根據∠BCO的正切值求出OB的長，即可得到OA、OC的長，也就求得了A、B、C的坐標；
（2）用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（3）根據拋物線的解析式可求得D點的坐標；過D作DE⊥x軸于E，根據拋物線與圓的對稱性可知DE必過圓心，連接MB（設圓心為M），在Rt△MEB中，可用⊙O的半徑表示出ME、MB的長，進而由勾股定理求出⊙O的半徑．
解答：解：（1）設OB=x，則OA=OC=4+x；
Rt△OBC中，tan∠BCO==，即：
OC=5OB，4+x=5x，
解得x=1；
∴OB=1，OA=OC=5；
∴A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）；

（2）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x+5），依題意有：
a（0+1）（0+5）=5，a=1；
∴y=（x+1）（x+5）=x²+6x+5；

（3）由（2）知：y=x²+6x+5=（x+3）²-4，則D（-3，-4）
過D作DE⊥x軸于E，則DE必過圓心M，連接BM，
設⊙M的半徑為R；
Rt△BME中，BM=R，ME=DE-DM=4-R，BE=AB=2；
由勾股定理得：BM²=ME²+BE²，
即R²=（4-R）²+4，
解得R=2.5；
故過點A、B和拋物線頂點D的圓的半徑為2.5．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、解直角三角形、垂徑定理及勾股定理的應用等知識，難度適中．